Uma incomensurabilidade aritimético-geométrica e a extensão dos números racionais para os números reais
A matemática da época de Pitágoras foi enfraquecida com a descoberta da incomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado. Em outras palavras, ao aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a diagonal de um quadrado, deduz-se que a razão entre a diagonal e o lado do quadrado não é um número racional. Do ponto de vista geométrico, isto significa que não há uma medida comum para comparar o lado e a diagonal de um quadrado. Depois de muitos séculos esse problema foi resolvido, um dos autores deste fato, foi o matemático alemão Richard Dedekind que, inspirado na Teoria das Proporções de Eudoxo, criou o conceito de Corte numa reta. Isto possibilitou a criação dos números irracionais, a extensão do conjunto dos números racionais e estabelecer um continuum de números reais, por meio do postulado da continuidade da reta. Este artigo tem por objetivo apresentar uma das possibilidades de justificar a descoberta da incomensurabilidade por meio de uma relação aritmético-geométrica e destacar alguns conceitos que fazem parte do estudo de análise da reta, como por exemplo a cota inferior, a cota superior, o ínfimo e supremo de um conjunto, o mínimo e o máximo de um conjunto entre outros, para formalizar e compreender a natureza da continuidade no eixo real. Além disso, apresentar algumas propriedades de natureza estruturante dos conjuntos numéricos e propor situações para aplicação desses conceitos.
Uma incomensurabilidade aritimético-geométrica e a extensão dos números racionais para os números reais
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Palavras-chave: Conjuntos numéricos; Corte; Incomensurabilidade.
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Keywords: Numerical sets; Cut; Incommensurability.
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Abstract:
The mathematics of Pythagoras's time was weakened by the discovery of the incommensurability between the side and diagonal of a square. In other words, by applying Pythagoras' theorem to determine the diagonal of a square, it is deduced that the ratio of diagonal to the side of the square is not a rational number. From the geometric point of view, this means that there is no common measure for comparing the side and diagonal of a square. After many centuries this problem has been resolved, one of the authors of this fact was the German mathematician Richard Dedekind who, inspired by the Eudox Proportion Theory, created the concept of Cut in a straight line. This concept enabled the creation of irrational numbers, the extension of the set of rational numbers and the establishment of a continuum of real numbers, through the postulate for continuity of the line. This article presents one of the possibilities to justify the discovery of incommensurability through an arithmetic-geometric relation and to highlight some concepts that are part of the analysis of the straight line, such as the lower bound, upper bound, the infimum and the supremum of a set, the minimum and maximum of a set, among others, to formalize and understand the nature of continuity on the real axis. Furthermore, it aims to present some properties of structuring nature of numerical sets and to propose situations for application of these concepts.
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Número de páginas: 16
- marcos garcia de souza
