UM RESULTADO SOBRE FUNÇÕES MENSURÁVEIS LIMITADAS EM Lp
Neste trabalho são apresentados alguns resultados sobre Teoria da Medida e Integração de Lebesgue. As funções Lebesgue integráveis são funções que se encontram em um espaço chamado Espaço Lp, com p∈ [1, ∞). Primeiramente definimos tal espaço e, dentre resultados importantes sobre o mesmo, mostramos que ele é um espaço vetorial. Então, após definir uma norma nesse espaço, mostramos que ele é um espaço vetorial normado. Para isso, utilizamos três importantes desigualdades: Desigualdade de Young, Desigualdade de Hölder e Desigualdade de Minkowsky. Daí, definimos uma distância com essa norma e mostramos que o Espaço Lp com essa distância é um espaço métrico completo. Uma função Lebesgue integrável deve ser uma função simples, ou então deve existir uma função simples que tenha propriedades semelhantes às da função que se deseja integrar. Logo, é apresentado um teorema que garante a existência de uma função simples que possui propriedades semelhantes à de uma função presente no Espaço Lp. Com isso, temos a aplicação que diz que o conjunto das funções mensuráveis limitadas é denso no espaço Lp.
UM RESULTADO SOBRE FUNÇÕES MENSURÁVEIS LIMITADAS EM Lp
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DOI: 10.22533/at.ed.4052027104
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Palavras-chave: Integral de Lebesgue, Função Simples, Conjunto Denso, Espaços Lp.
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Keywords: Lebesgue Integral, Simple Function, Dense Set, Spaces Lp.
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Abstract:
In this work, some results are presented on Lebesgue's Theory of Measurement and Integration. The integrable Lebesgue functions found in a space called Espaço Lp, with p∈ [1, ∞). First, we define such a space, and, among relevant results about it, we show that it is a vector space. So, after defining a norm in this space, we show that it is a normed vector space. For this, we use three Crucial inequalities: Young's Inequality, Hölder's Inequality, and Minkowsky's Inequality. Hence, we define a distance with this standard and show that the Lp Space at that distance is a complete metric space. An integrable Lebesgue function must be a simple function, or there must be a simple function that has properties similar to the function that want to integrate. Therefore, a theorem presented that guarantees the existence of a simple function that has properties similar to that of a function present in the Lp Space. With that, we have the application that says that the set of limited measurable functions is dense in the Lp space.
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Número de páginas: 15
- Angela Leite Moreno
- Michele Martins Lopes
