Com o surgimento da matemática moderna no Brasil, a teoria de conjuntos e o estudo de funções ganharam relevância. Em qualquer conhecimento de Matemática, é necessário estabelecer um conjunto no qual se realizará o estudo – conjunto universo. No Ensino Fundamental, o conjunto dos números racionais é o que mais se utiliza para efetuar as quatro operações básicas da matemática (adição, subtração, multiplicação e divisão).

Nesse sentido, este trabalho procura articular com demonstrações, propriedades, definições e conceitos referentes aos elementos de um conjunto, de uma relação dual e de funções, visando aprimorar os conhecimentos adquiridos pelo professor de matemática da Educação Básica assim como procura esclarecer a incompletude dos números racionais e criar possibilidades de o professor apresentar os detalhes de tal preferência, por meio da transposição didática. A preferência por trabalhar com o conjunto dos números racionais, em detrimento ao conjunto dos números reais, parece ser um tanto incomum, pois o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo, ao passo que o conjunto dos números racionais é um corpo ordenado, mas não é completo. Ao contrário do que se faz no Ensino Fundamental, no Ensino Médio o uso do conjunto dos números reais e o estudo de funções é predominante.

Dessa forma, este trabalho apresenta a concepção de função, bem como suas propriedades, teoremas e demonstrações, de modo que o professor amplie seus saberes e mobilize esses conhecimentos para aprimorar o ensino da matemática na Educação Básica.